O surgimento do zero em diferentes culturas e os algoritmos ao longo da história

Resumo

O presente artigo tem como objetivo relata um breve histórico sobre a “Origem do Zero” e suas concepções em diferentes culturas desde os egípcios, os gregos, os romanos, os babilônios, mesopotâmios, maias e os hindus.  Como também a história sobre os algoritmos. Tendo como metodologia de pesquisa bibliográfica através de artigos, livros, dissertações e teses.

Introdução

Quando se pensa no sistema de numeração, muitos não imaginam que houve um grande processo até o desenvolvimento atual. Principalmente em relação ao zero, segundo Barco (1988) umas das mais importantes descobertas feitas pelo ser humano foi a sua invenção.

Berlinghoff e Gouvêa (2008) apontam que: “Assim, o zero começou a sua vida como “ocupante de lugar”, um símbolo para indicar que algo foi saltado” (BERLINGHOFF; GOUVÊA, 2008, p.3). Ao longo da leitura percebe-se que sua criação foi para representar um lugar vazio.

Breve histórico sobre o zero desde os egípcios até os dias atuais.

A história do zero é um dos contos mais conturbados da história da matemática, pois sua origem exata não pode ser comprovada de forma clara e precisa. Dessa forma fizemos um estudo bibliográfico donde cada pesquisador vem dizendo sobre a origem do nada ao decorre dos tempos em cada civilização.

Dessa forma Bentley (2009) diz o “nada” como é chamado por ele foi inventado há cerca de 1.800 anos na Índia, sendo que babilônios, gregos, maias e chineses tivessem percebido anteriormente a necessidade do uso de um símbolo que viesse representa o nada. Já Viana (2012), relata que a primeira menção dada pelos historiadores ao zero foram dada pelos babilônios, no século 3 a.C. Ainda Viana (2012), historiadores encontraram na cultura indiana uma menção ao zero data do século 5 d.C. Mas neste período o zero já vinha sendo usado como posicional em um sistema numérico.

Kaplan (2001), nos menciona que o zero teria aparecido pela primeira vez entre os séculos IV e III a.C., na civilização fenícia que institui a notação posicional. Sendo que essa notação necessitaria de um símbolo para representar a ausência da unidade de uma ordem.

Segundo Boyer (2003), acredita que zero não se originou na Índia junto com o sistema de numeração decimal. Segundo ele só se tem ocorrência de um zero na Índia, numa inscrição 876, depois dos outros noves numerais. Ainda Boyer (2003), o zero originou-se entre os gregos e foi passada a Índia.

Há tanta discordância no descobrimento do zero que Hogben (1956) nos diz que os gregos não desenvolveram os sistema de numeração, nem a realizaram a descoberta do zero por causa de sua presença cultural, que os forçavam a usar uma escrita numeral já desenvolvida antes de se ter a necessidade de efetuar cálculos com grandes números.

Entre essas e outras pesquisas realizadas sobre origem do zero percebemos a complexidade de se estabelecer uma data para sua primeira aparição entre os números. Dessa forma vemos que cada civilização cultural teve uma contribuição ao desenvolvimento do nada.

Percebemos que cada civilização criava alguma notação, simbologia, expressão para cada necessidade que aparecia, como a necessidade de relações sociais que exigiam o ato de contar: o dinheiro a receber ou a pagar; o pastor para contar o numero de ovelhas; o numero de sacas produzidas e entre outras atividades da vida social, como por exemplo, a contagem do tempo. Iremos relatar agora algumas ideias de cada civilização e sua necessidade de criar uma notação ou simbologia para expressar o nada em suas atividades.

No artigo publicado no boletim do Grupo de Ensino e Pesquisa em Educação Matemática – GEPEM em 2004, Pinedo e Sbardelotto descrevem sobre a origem da notação do zero nos diferentes momentos da história, nas diversas civilizações, entre outras a babilônica, a chinesa, a maia e a indiana.

Segundo Padrão (2008), as civilizações babilônicas e maia só utilizavam o zero para representar a ausência das unidades de uma ordem. Assim o zero foi instituído para representar a “quantidade nula”, só como algarismo.

Dessa forma Padrão (2008) relata que Pinedo e Sbardelotto (2004) fazem uma varredura na história do surgimento do zero desde os primórdios até os dias de hoje, para um melhor entendimento de sua importância ao longo dos tempos.

Seguindo a analogia de Padrão (2008) e Pinedo e Sbardelotto (2004),

Os Babilônios

Por volta de 1 200 a.C., os babilônios segundo Pinedo e Sbardelotto (2004) não conheciam o conceito do zero e utilizavam um sistema posicional cuneiforme, de base sessenta, conhecido na Mesopotâmia. Em aproximadamente 400 a.C., usavam ↑↑ no lugar vazio, ou seja, na falta de uma potência de sessenta. Outra notação que representava o vazio era ┌┌┌ , em aproximadamente 700 a . C.

Os Olmecas

Em 1 000 a.C. essa civilização, considerada a mais antiga da Costa do Golfo do México e antecessora dos maias, inventou um sistema de numeração posicional, em que o zero estava incluído.

Parmênides (500 a.C.)

Foi um filósofo grego, que criou “O Paradoxo do Julgamento Negativo”, que diz: “se uma afirmação declara que certa coisa existe então sua negativa indicará algo que não existe; ora, uma frase sobre algo que não existe é uma frase sobre nada e então impossível”. Em seus diálogos, Platão utiliza esse paradoxo para concluir que é impossível existir grandeza nula.

Na China (400 a.C.)

Nessa época, os chineses usavam um ábaco para fazer cálculos e na ausência de dezena, deixavam “casa vazia” para indicar o zero. Mas esse procedimento foi insuficiente, então incluíram alguns signos na numeração chinesa para representar potências de dez. Mais tarde, no século VII d.C., os sábios chineses instituíram o zero.

Os gregos

Ao que se sabem os gregos e romanos não conheciam o zero, portanto não havia um sistema de numeração posicional. O signo 0 (zero) era usado por matemáticos envolvidos com a astronomia, de uma forma simbólica. Esse fato é explicado por algumas teorias.

Ptolomeu (150 d.C.)

Em seu livro “Syntaxis Mathemática” (Almagesto em árabe) usa o algarismo zero para representar os números de tabelas trigonométricas e astronômicas. No sistema sexagesimal, ele utiliza o zero medial e final (por exemplo: 205 e 250). Os registros desse livro são apenas cópias e por esse motivo há controvérsias sobre se o símbolo usado para representar o zero era a letra grega ômicron (nosso símbolo zero).

Os maias (250 – 900 d.C.)

Esse povo da América Central (hoje: México Meridional e Guatemala) desenvolveu um sistema de número de “posição” usando o algarismo zero. O Uaxactun é um artefato produzido pelos maias, considerado um dos documentos mais antigos a apresentar um “zero”, para indicar a ausência de uma ou mais ordens do sistema de base vinte. Esse sistema era utilizado principalmente para o registro do tempo em calendários.

O Pestac é o mais antigo documento encontrado que relata o sistema de numeração posicional dos Maias usando o zero, este documento é datado de 665 d.C. Neste sistema usavam o desenho de uma concha ou de um caracol para representar simbolicamente o zero, que era chamado de “xixim”. (PINEDO; SBARDELOTTO, 2004, p. 5).

Os indianos

Esse povo foi o primeiro que reconheceu o sistema de posição com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e o elemento zero. Como utilizavam o ábaco para realizar cálculos, na ausência de uma ordem deixavam um sulco vazio. Assim surgiu a necessidade de um símbolo para representar esse espaço, que foi um ponto chamado de sünya, no período entre os séculos III e IV, segundo o manuscrito de Bakhshali. A palavra sünya significa vazio e indica “casa nula”.

Entrou para o árabe como sifr, que significa “vago”. E foi transliterado para o latim como zephirum ou zephyrum em meados de 1200, mantendo-se seu som, mas não seu sentido. A partir disso ocorreram mudança sucessivas, e a palavra tornouse zeuero, zepiro e cifre. (PINEDO; SBARDELOTTO, 2004, p. 6).

Entre todas essas civilizações e suas contribuições ao uso do zero nenhuma pessoa conseguiu estabelecer uma escrita para o zero como o matemático indiano Brahmagupta, segundo Bentley (2009), talvez a primeira investigação escrita sobre o zero tenha sido feita em 628 d.C. pelo matemático Brahmagupta em seu livro intitulado Brahmasphutasiddhanta (“Abertura do Universo”), onde explicava o movimento dos planetas e como suas trajetórias precisas podiam ser calculadas.

Em seu livro Brahmagupta pela primeira vez na história definiu o zero, “O Zero é resultado da subtração de um número de si mesmo” Bentley (2009). Brahmagupta foi ainda mais longe em seu livro fazendo concepções do zero como é mostrado na imagem abaixo.

Vemos que Brahmagupta não conseguiu descobrir o que fazer com a divisão por zero, mostrando que não sabia o significado de alguma coisa dividida por zero e nem sabia ao certo o que também veria a ser alguma coisa dividida por zero. Bentley (2009).

Durante séculos as concepções de Brahmagupta foram seguidas ao pé da letra por diversos outros matemáticos, demonstrando que ninguém poderia resolver o problema.

A definição para o zero perambulo por vários séculos e séculos, mas se considerarmos alguns cientistas, matemáticos e físicos de cada época podemos observar que suas ideais sobre “nada” existia e que seus conceitos era para um zero aproximado. Considere o paradoxo de Zenão atribuído ao filósofo pré-socrático Zenão de Eléia que diz que: Aquiles, o herói grego, e a tartaruga decidem apostar uma corrida. Como a velocidade de Aquiles é maior que a da tartaruga, esta recebe uma vantagem, começando corrida um trecho na frente da linha de largada de Aquiles.

Aquiles nunca sobre passa à tartaruga, pois quando ele chegar à posição inicial A da tartaruga, esta se encontra mais a frente, numa outra posição B. Quando Aquiles chegar a B, a tartaruga não está mais lá, pois avançou para uma nova posição C, e assim sucessivamente, tendendo ao finito.

Em termos matemáticos, seria dizer que o limite, com o espaço entre a tartaruga e Aquiles tendendo a zero, do espaço de Aquiles, é a tartaruga. Ou seja, ele virtualmente alcança a tartaruga, mas nessa linha de raciocínio, não importa quanto tempo se passe Aquiles nunca alcançará a tartaruga nem, portanto, poderá ultrapassá-la.

Segundo Viana (2012), isso é teoria dos limites, mas talvez o paradoxo tenha perdurado porque faltava o conceito do zero, mesmo que do zero efetivo ou zero aproximado.

Muitos outros matemáticos como Ptolomeu, por volta de 150 d.C., produzia tabelas astronômicas, sendo tais tabelas feitas por 360 graus, divididas em 60 minutos, divididos em 60 segundos. Viana (2012), às vezes a subdivisão era tal que ele chegava a uma parte ínfima, muito menor do que a unidade, que indicava com um 0 com uma barra em cima. Era mais ou menos o zero efetivo.

Deste modo podemos perceber que a ideia intuitiva do zero já era usada e que algo deveria ser definido para essa intuição como foi definido por Brahmagupta em seu livro, mais tarde Bhaskara (1114 – 1185) conseguiu expressar o problema da divisão de um número por zero, afirmando que: Uma quantidade dividida por zero se torna uma fração com denominador igual a zero. Esta fração determina uma quantidade infinita. (PINEDO; SBARDELOTTO, 2004, p.8).

Podemos dizer que toda essa conturbada evolução do que viria a ser o zero passava-se na Índia, sendo que entre o século 12 e 13 um famoso matemático contribuiu para divulgação do zero e os símbolos hindus-árabes para toda a Europa esse matemático era o italiano Leonardo de Pisa mais conhecido como Fibonacci. Patrão (2008), Escreveu o livro Líber Abaci e junto com a obra de al-khwarizmi on the Hindu Art of Reckoning, o sistema indo-arábico foi introduzido no Mundo Cristão. Nessa época, o zero era visto com desconfiança e Fibonacci não lhe deu maior destaque. Simplesmente tratou-o como os outros algarismos. Esse matemático foi o responsável pela comunicação do sistema de numeração indo-arábico à Europa.

Mais de mil anos depois após Brahmagupta escrever sua obra, o matemático francês chamado Guillaume de L’Hopital recebeu o mérito por uma ideia que iria mudar toda discussão que vinha sendo feita sobre a divisão por zero, que seria a ideia de encolher séries até zero que hoje é conhecida atualmente como regra de L’Hopital. Bentley (2009).

Talvez nunca seja possível dizer qual civilização inventou o zero, mas, para os indianos não há o que discutir: o zero é um dos orgulhos da Índia. Viana (2012).

Concluímos que a história do zero não pode ser exatamente expressada por uma data, mais sim por vários pensamentos e intuição de cada civilização e pessoas que preocupavam com o seu significado.

Mas o zero – como você pôde ver – decididamente não é um zero à esquerda. “Foi uma surpresa constatar como é central a ideia de zero: o nada que gera tudo”, diz Kaplan. E mais: há quem diga que o zero é parente do infinito, outra abstração que mudou as bases do pensamento científico, religioso e filosófico. “Eles são equivalentes e opostos, yin e yang”, escreve Charles Seife, autor de Zero: The Biography of a Dangerous Idea (Zero: A Biografia de uma Ideia Perigosa). O epíteto atribuído ao zero no título – ideia perigosa – não está ali por acaso. “Apesar da rejeição e do exílio, o zero sempre derrotou aqueles que se opuseram a ele”, afirma Seife. “A humanidade nunca conseguiu encaixar o zero em suas filosofias. Em vez disso, o zero moldou a nossa visão sobre o universo – e também sobre Deus.” E influenciou, sorrateiramente, a própria filosofia. De fato, trata-se de um perigo. (VOMERO, 2001).

 Algoritmos ao longo da história

 Os procedimentos usados para se efetuar cálculos matemáticos básicos, tais como a multiplicação e a divisão, estiveram sempre ligados às limitações implicitamente impostas pelo sistema notacional em uso. Assim, talvez as formas escritas ou algoritmos fossem influenciados pelos materiais de escrita disponíveis na época. (CUNHA, 1997)

As operações matemáticas básicas da multiplicação e divisão parecem ter se derivado de necessidades econômicas antigas e emergiram naquelas civilizações que dominavam a escrita. O mais antigo registro do uso de um algoritmo foi encontrado num tablete sumério de Shuruppak, próximo a Baghdad, em torno de 2500 a.C. (BOYER, 1974)

Uma das melhores definições elementares de multiplicação refere-se aos números inteiros, sendo igualmente uma das mais velhas em nossa linguagem. Em The Crafte of Nombrynge (1300) ela aparece como sendo: multiplicação é uma maneira de representar coisas na forma de números, na qual um número contém tantas vezes outro escrito numa potência de 2. A mesma definição é encontrada na Aritmética de Maximus Planudes (1340), na primeira Aritmética impressa (1478), na primeira Aritmética comercial notável (1484), e em outros inúmeros trabalhos. Recorde (1542) estabeleceu o modelo inglês dizendo: multiplicação é uma operação i . j , que é uma soma produzida gerando um terceiro número, que representa tantas vezes o primeiro número contém o segundo. (CUNHA, 1997)

Já as operações aritméticas dos babilônios eram de modo não muito diferente do usado hoje, e com facilidade comparável. A divisão não era efetuada pelo incômodo processo de duplicação dos egípcios, mas por uma fácil multiplicação do dividendo pelo inverso do divisor, usando os itens apropriados nas tabelas. Entre as tabelas babilônias encontram-se tabelas contendo potências sucessivas de um dado número, semelhantes às nossas tabelas de logaritmos. (BOYER, 1974)

Para mais detalhes sobre o processo da multiplicação de cada civilização é dado por CUNHA (1997) em sua dissertação pág. 35. Ela mostra o processo da multiplicação no Egito, na Babilônia, nosso método, método castelo, multiplicação por cruz, método do quadrilátero, método rede ou gelosia, tabuas da multiplicação. Cunha também da detalhes sobre os processos da divisão no Egito, na Babilônia, método de galé, divisão por fatores, nossa divisão longa.

As primeiras civilizações interpretavam o problema de extrair raízes quadradas geometricamente e os algoritmos que desenvolveram para resolver este problema se baseavam em raciocínios geométricos. Mais recentemente, o problema foi atacado do ponto de vista algébrico-analítico, de achar as raízes de uma equação ou, equivalentemente, os zeros de uma função. Isso permitiu o desenvolvimento de algoritmos poderosos, que permitem o cálculo de raízes quadradas rapidamente, com grande precisão. (CARVALHO, 2010)

Os matemáticos mesopotâmios foram hábeis em desenvolver processo algorítmico, entre os quais um para extrair a raiz quadrada, frequentemente atribuída a homens que viveram bem mais tarde. No algoritmo babilônio para raiz quadrada acha-se um processo interativo que poderia ter levado os matemáticos do tempo a descobrir processos infinitos, mas eles não levaram adiante a pesquisa das implicações de tais problemas. (BOYER, 1974)

Carvalho (2010) em seu artigo faz um estudo de como eram extraídas a raízes quadradas na Mesopotâmia; o conhecido processo de aproximação de Hierão, na Grécia; além disso, é mostrado um algoritmo indiano que pode ser justificado geometricamente, e o método do qual os chineses já conheciam o algoritmo tradicional para o cálculo de raízes quadradas, ensinado na Escola Fundamental até a poucas décadas, e que tem sido impiedosamente criticado, o método de Newton, de natureza diferente dos anteriores.

Referências

BARCO. L. Como era dura a vida sem o zero. Disponível em: http://super.abril.com.br/superarquivo/1988/conteudo_111077.shtml. Acesso em: 31 de agosto de 2012.

BENTLEY, Peter. O Livro dos Números: Uma história ilustrada da matemática/Peter Bentley; tradução Maria Luiza X. de A. Borges; revisão técnica Samuel Jurkiewicz – Rio de Janeiro. Ed.: Jorge Zahar, 2009.

BOYER, Carl. História da matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1974. 448p.

GUIMARÃES, F. Sentido do Zero. Dissertação de Mestrado em Ensino de Matemática – São Paulo PUCSP – 2008. Disponível em: http://www.pucsp.br/pos/edmat/trabalhos_aceitos.html. Acesso em 31 de agosto de 2012.

BERLINGHOFF, William P.; GOUVÊA, Fernando Q. A Matemática Através dos Tempos. São Paulo, SP: Blucher, 2008. 296p.

CUNHA, Maria Carolina Cascino. AS OPERAÇÕES DE MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO JUNTO A ALUNOS DE 5a e 7a SÉRIES. Dissertação Mestrado em ensino da matemática, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. 1997.

PADRÃO, Darice Lascala. A ORIGEM DO ZERO. Dissertação Mestrado da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Disponivel em: http://www.pucsp.br/pos/edmat/mp/dissertacao/darice_lascala_padrao.pdf. Acessado em: 23 de setembro de 2012.

Pinedo e Sbardelotto

Revista Cálculo: Matemática para todos. Reportagem: VIANA, Aline. Um Jovem Rebelde em Sala de Aula. Ano 2 – Número 20 – Setembro de 2012. ISSN: 2179-1384

VOMERO, Maria Fernanda. A importância do número zero. Disponível em: http://super.abril.com.br/ciencia/importancia-numero-zero-442058.shtml Acessado em 23 de setembro de 2012.